Análisis del movimiento orbital
Teoría clásica de Newton
Para un sistema de sólo dos cuerpos que se influyen únicamente por la gravedad, sus órbitas pueden ser calculadas mediante las leyes del movimiento de Newton y la ley de la gravitación universal: la suma de las fuerzas será igual a la masa por su aceleración; la gravedad es proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (este cálculo desprecia pequeños efectos como la forma y dimensiones de los cuerpos, que no son relevantes si los cuerpos orbitan a distancias razonablemente grandes comparadas con sus propias dimensiones, y asimismo se ignoran efectos relativistas también muy pequeños en las circunstancias habituales del sistema solar).
Para realizar los cálculos, es conveniente describir el movimiento en un sistema de coordenadas que esté enfocado en centro de gravedad del sistema.
Si uno de los cuerpos es mucho más masivo que el otro, el centro de gravedad prácticamente coincidirá con el centro del cuerpo más pesado, por lo que se puede decir que el cuerpo más ligero orbita alrededor el más pesado.
La teoría newtoniana predice que en un problema de dos cuerpos, la órbita de un cuerpo es una sección cónica.
La órbita puede ser abierta, si el objeto nunca regresa, o cerrada, si regresa, dependiendo de la suma total de energía cinética y potencial del sistema.
En el caso de una órbita abierta, la velocidad en cualquier posición de la órbita es al menos la de la velocidad de escape para esa posición; en una órbita cerrada, es siempre menor.
Una órbita abierta tiene forma de hipérbola si la velocidad es mayor que la velocidad de escape, o de parábola, si la velocidad es exactamente igual a la velocidad de escape.
Los cuerpos se aproximan durante un momento, luego sus trayectorias se curvan una respecto a la otra en el momento que su aproximación es la más cercana y luego se separan para siempre.
Una órbita cerrada tiene forma de elipse. En el caso especial de que el cuerpo orbitante se encuentre siempre a la misma distancia del centro, también tiene forma de círculo.
De otra manera, el punto donde el objeto se encuentra más cerca de la Tierra se denomina perigeo, o periastro cuando orbita alrededor de otro cuerpo que no es la Tierra.
De forma similar, el punto en el que se encuentra más alejado de la Tierra se llama apogeo, o apoastro si no orbita sobre la Tierra.
Una línea dibujada desde el periastro al apoastro es la línea de los ápsides: este es el eje mayor de la elipse.
Los cuerpos orbitantes en órbitas cerradas repiten su trayectoria en un período constante.
Este movimiento es descrito por las leyes empíricas de Kepler, que pueden ser derivadas matemáticamente desde las Leyes de Newton.
Estas leyes son:
- La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de sus focos. Por tanto, la órbita yace en un plano, denominado plano orbital. El punto de la órbita más cercano al cuerpo atrayente es el periastro. El punto más alejado se denomina apoastro. Existen nombres específicos para cuerpos determinados: los objetos que orbitan alrededor del Sol tienen perihelio y afelio, los objetos que orbitan alrededor de la Tierra tienen perigeo yapogeo.
- Mientras los planetas se mueven alrededor de su órbita durante una cantidad de tiempo fija, la línea desde el Sol al planeta barre una área constante del plano orbital, sin importar en qué parte de la órbita se encuentra el planeta en ese período. Esto significa que un planeta se mueve más rápido cuando se acerca a su perihelio que cuando lo hace a su afelio, debido a que en la distancia menor se necesita barrer un arco mayor para cubrir el mismo área. La ley se suele resumir como "áreas iguales a tiempos iguales".
- Para cada planeta, la relación entre el cubo de su semieje mayor con respecto al cuadrado del período es un valor constante para todos los planetas.
Excepto para casos especiales como los puntos de Lagrange, no se conoce un método para solucionar las ecuaciones de movimiento para un sistema de cuatro o más cuerpos. Las soluciones para dos cuerpos se publicaron en los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de I. Newton en 1687.
En 1912, Karl F. Sundman desarrolló una serie infinita convergente que soluciona el problema con tres cuerpos, sin embargo su convergencia es demasiado lenta para ser utilizada como método práctico de cálculo.
En su lugar, las órbitas pueden ser aproximadas con una precisión alta arbitraria. Existen dos formas para estas aproximaciones.
Una forma es tomar el movimiento elíptico puro como base y añadirle las perturbaciones para tener en cuenta la influencia gravitacional de los otros cuerpos.
Este es el método conveniente para calcular las posiciones de objetos astronómicos.
Las ecuaciones de movimiento de la Luna, los planetas y otros cuerpos se conocen con gran precisión y se utilizan para generar tablas para la navegación astronómica.
Aún así, hay fenómenos seculares que deben ser tratados con métodospost-Newtonianos.
Para propósitos científicos o de una misión espacial, se utiliza la forma de ecuación diferencial.
De acuerdo a las Leyes de Newton, la suma de todas las fuerzas es igual a la masa por su aceleración.
Por tanto, las aceleraciones se pueden expresar en términos de posición.
Los términos de las perturbaciones son más fáciles de describir de esta forma. La predicción de las posiciones futuras y velocidades desde los términos iniciales se soluciona con un problema de valor inicial.
Los métodos numéricos calculan las posiciones y velocidades de los objetos para un tiempo futuro muy pequeño, y luego se prolonga repitiéndolo.
Sin embargo, los pequeños errores aritméticos debido a la limitada precisión de la matemática del computador se acumulan, limitando la precisión de esta aproximación.
Las simulaciones de diferenciales con grandes cantidades de objetos realizan los cálculos de forma jerárquica entre los centros de masas. Utilizando este esquema se pueden simular galaxias, cúmulos estelares y otros objetos grandes.
Teoría relativista de Einstein
Es bien conocido que la teoría de la relatividad especial está en contradicción con la teoría newtoniana de la gravitación, ya que en ésta tiene lugar la acción a distancia instantánea.
Esa y otras razones llevaron a Einstein a buscar una teoría más general que fue la teoría de la relatividad general que incorpora una descripción relativista adecuada del campo gravitatorio.
En esta teoría la presencia de una masa en el espacio curva el espacio-tiempo de tal manera que la geometría del mismo deja de ser euclídea (aunque sigue siendo aproximadamente euclídea si las masas y velocidades de los cuerpos toman valores como los observados en el sistema solar).
Las órbitas planetarias no son estrictamente secciones cónicas sino curvas geodésicas (líneas de mínima curvatura) sobre la geometría curva del espacio-tiempo.
La teoría es no lineal y resulta muy complicado hacer cálculos por ejemplo para un problema de dos cuerpos de masas iguales.
Sin embargo, para sistemas planetarios como el sistema solar, en que el astro central, el sol, es mucho más masivo que el resto de planetas, puede estimarse la curvatura del espacio-tiempo debida únicamente al sol (despreciando la del resto de planetas) y asumir que los planetas mucho menos masivos se mueven según geodésicas de la geometría curvada por el sol.
Para los valores presentes en el sistema solar los resultados cuantitativos de la teoría einsteniana son numéricamente muy cercanos a la teoría newtoniana (por lo que generalmente se justifica a efectos prácticos usar la teoría newtoniana que es computacionalmente más simple).
Sin embargo, la teoría newtoniana no puede explicar algunos hechos que sí son correctamente explicados por teoría relativista de Einstein, entre los que se encuentra el notable efecto de avance del perihelio del planeta Mercurio, que es explicado con muy buena aproximación por la teoría relativista de Einstein pero no por la teoría newtoniana.
Órbitas en el caso newtoniano
Para analizar el movimiento de un cuerpo bajo la influencia de una fuerza que siempre se dirige desde un punto fijo es conveniente utilizar coordenadas polares cuyo origen coincida con el centro de la fuerza.
En tal sistema de coordenadas, sus componentes radial y transversal son respectivamente:
a
a
Ya que la fuerza es completamente radial y que la aceleración es proporcional a la fuerza, implica que la aceleración transversal es igual a cero. Como resultado,
d . dt(r2dθdt)=0
Tras su integración, se obtiene,
r , que es una prueba teórica de la segunda ley de Kepler. 2dθdt=const.
La constante de integración l es el momento angular por unidad de masa. Por tanto,
-
dθ dt=lr2=lu2
Donde se introduce una variable adicional,
-
u= 1r
La fuerza radial es f(r) por unidad es
a
r
-
d 2udθ2+u=−f(1/u)l2u2
En el caso de la gravedad, la ley universal de gravitación de Newton afirma que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,
-
f(1/u)= ar=−GMr2=−GMu2
Donde G es la constante de gravitación universal, m la masa del cuerpo orbitante y M la masa del cuerpo central. Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene,
-
d 2udθ2+u=GMl2
Para la fuerza gravitacional, el término de la derecha de la ecuación se convierte en una constante y la ecuación se parece a una ecuación armónica. La ecuación para la órbita descrita por la partícula es:
-
r= 1u=l2/GM1+ecos(θ−θ0)=p1+ecos(θ−θ0)
Donde p, e y
θ
0
-
p= l2GM=a(1−e2)
Si el parámetro e es menor que uno, e es la excentricidad y a es el semieje mayor para una elipse. En general, se puede reconocer como la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares (r,θ).
Órbitas en el caso relativista
En el caso relativista, el problema de dos cuerpos puede resolverse aproximadamente usando la solución de Schwarzschild para el campo gravitatorio creado por un cuerpo con simetría esférica.
La órbita planteria en el espacio-tiempo es una geodésica de la métrica de Schwarzschild.
La órbita así obtenida obtendría a partir de una geodésica de la métrica de métrica de Schwarzschild es equivalente a que la partícula notara una aceleración radial efectiva dada por:
a
donde:
G,c
r
l
Las constantes del del movimiento asociadas a la energía y el momento angular son:
1
La ecuación del movimiento, haciendo el cambio
u=1/r
(
Para todos los planetas del sistema solar la corrección relativista dada por el tercer término del segundo miembro es pequeña comparada con los otros términos.
Para mostrar esto conviene introducir un parámetro adimensional
ϵ=2(GM/cl
)
2
u
¯
=u
l
2
/GM
con lo que la ecuación de movimiento puede reescribirse como:
donde:
β:=− 2El2G2M2=1−e2
Para el planeta Mercurio el parámetro
ϵ
ϵ=5,09⋅
10
−8
Sin embargo, la pequeñez de este término hace que las correcciones relativistas produzcan sólo pequeñas correcciones y por esa razón la teoría newtoniana da tan buenas aproximaciones para el sistema solar.
Buscando las raíces de la función
u
¯
)
⎧
Para las órbitas planetarias estables se tiene
u
¯
1
<
u
¯
<
u
¯
2
u>
u
¯
3
u
¯
→∞
ϵ
Esta integral puede reducirse a una integral elíptica mediante el cambio de variable
v=
u
¯
1
+1/
t
2
donde:
a 2=1/(u¯2−u¯1),b2=1/(u¯3−u¯1)
Usando una de las funciones elípticas de Jacobi la integral () se puede integrar como:
ϵ
con módulo dado por
k=
b/a
−
−
−
√
(***)
u
donde:
A=1−e− ϵ2e(1−e)3+O(ϵ2)
B=2e+ϵ(3e+1/e)+O( ϵ2)
η= 12−(3−e)ϵ4+O(ϵ2)
k
Si
ϵ=0
A=1−e,B=2e,η=1/2,k=0
l
Que es una elipse de excentricidad e. La órbita relativista sin embargo no es periódica es una cuasi-elipse que gira lentamente alrededor del sol.
Esto se conoce como avance del perihelio que es más acusado para el planeta Mercurio. A partir de la solución () el perihelio aparece en
θ=K/η
θ=3K/η
2π
2K
Para Mercurio con
ϵ=5,09⋅
10
−8
41.07
′′
/siglo
42.98
′′
/siglo
Este gran acuerdo constituyó uno de los éxitos iniciales de la teoría que le dio gran aceptación general.
Written by Chmaster
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